อ้าาาาา...การคิดอะไรออกนี่มันช่างประเสริฐแท้ ไม่แปลกใจเลยทำไมอาคีมีดิสกระโดดออกจากอ่างอาบน้ำ แล้วแก้ผ้ายูเรก้าไปรอบเมือง เราเองก็อยากทำแบบนั้น หลังจากขบคิดปริศนาที่ติดอยู่ในใจมาแสนนานเราทะลุความโง่ระหว่างที่อ่าน Alex's Adventures in Numberland เป็นหนังสือแนวคณิตศาสตร์แสนสนุก ในบทเกี่ยวกับความน่าจะเป็น เบลลอสพูดว่า "ความน่าจะเป็นคือสาขาของวิชาคณิตศาสตร์ที่ห่างไกลจากชีวิตประจำวัน และสวนทางกับสามัญสำนึกที่สุด จึงไม่น่าแปลกใจเลยที่มันจะผลิตพาราดอกซ์ออกมามากมาย" ระหว่างที่อ่านประโยคนี้ เราก็ระลึกถึงพาราดอกซ์ที่ติดอยู่ในใจเราเป็นเวลาเกือบสิบปี และแล้วก็ยูเรก้าโดยพลัน
เกือบสิบปีที่แล้ว ผู้กำกับเอาพาราดอกซ์นี้จากนิตยสาร My Maths มาถามเรา สมมติว่าเราเล่นเกมกับเพื่อน กติกาคือมีไพ่หมายเลขหนึ่งถึงร้อย เราผลัดกันสับและแจกมั่วๆ แบบคว่ำหน้ามาสองใบ ถ้าต่างฝ่ายต่างเลือกจะเอาใบไหน แล้วมาแข่งกันว่าใครแต้มสูงกว่าชนะ โอกาสชนะของเราคือหนึ่งในสอง (เพราะจะมีใบหนึ่งสูงกว่าอีกใบเสมอ) ทีนี้ดัดแปลงกติกาเล็กน้อย เพื่อนเราเปิดไพ่หนึ่งในสองใบ แล้วเรามีสิทธิเลือกว่าจะเอาใบที่เขาเปิดแล้ว หรือจะเอาอีกใบที่ยังปิดอยู่ เขาเลือกอีกใบที่เหลือ แล้วค่อยมาเปรียบเทียบกัน
สมมติเราเล่นเกมนี้โดยไม่มีกลยุทธอะไรเลย ใช้วิธีสุ่มมั่ว พอเพื่อนเปิดไพ่มา เราโยนเหรียญ ออกหัวเอาใบที่เปิด ออกก้อยเอาใบที่ปิด โอกาสชนะของเราก็จะมีแค่หนึ่งในสองเท่านั้น My Maths เสนอกลยุทธนี้ ก่อนเพื่อนจะเปิดไพ่ ให้เราสุ่มตัวเลขในใจหนึ่งถึงร้อย เราจะเรียกเลขตัวนั้นว่า "เลขฐาน" เมื่อเปิดไพ่ปุ๊บ ถ้าเลขฐานต่ำกว่าหน้าไพ่ ก็เป็นไปได้ว่าไพ่ที่คว่ำอยู่จะต่ำกว่าด้วย ให้เราเลือกไพ่ที่เปิดแล้ว ในทางตรงกันข้าม ถ้าเลขฐานสูงกว่าหน้าไพ่ ไพ่ที่คว่ำอยู่จะสูงกว่าด้วย ให้เราเลือกใบที่คว่ำ ถ้าใช้กลยุทธนี้โอกาสชนะจะเพิ่มขึ้นถึง 2/3 หรือ 3/4 ทีเดียว (จำคำตอบไม่ได้แล้ว)
น่าอัศจรรย์ไหม ที่เลขฐานซึ่งไม่เกี่ยวอะไรกับเกมเลย อยู่ในใจเราแท้ๆ แต่กลับมีส่วนช่วยเราได้ เราถึงกับใช้แมตเลปเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อทดสอบ ในการเล่น 1000 ครั้ง วิธีสุ่มมั่วจะชนะแค่ 500 แต่กลยุทธเลขฐานจะช่วยเพิ่มจำนวนครั้งที่ชนะถึง 750 (หรือ 666) ครั้งทีเดียว
ถ้าใครอ่านมาถึงตรงนี้แล้วอยากขบคิด (หรือทดสอบ) ด้วยตัวเอง อย่าเพิ่งอ่านต่อ
เอาเข้าจริงปัญหานี้ไม่เชิงเป็นพาราดอกซ์เสียทีเดียว เหมือนเป็นการ "หลอกต้มหมู" ของ My Maths มากกว่า ถ้าเราเล่นเกมนี้จริงๆ โดยไม่ใช้วิธีสุ่มมั่ว (โยนเหรียญก่อน แล้วค่อยเลือก) โอกาสชนะจะแค่ห้าสิบห้าสิบหรือเปล่า คำตอบคือ "เป็นไปไม่ได้!" ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเปิดหน้าไพ่ออกมาเป็น 89 หรือ 95 มีใครจะเสี่ยงเลือกไพ่อีกใบหรือเปล่า ในทางตรงกันข้าม เปิดออกมาแล้วเป็น 2 หรือ 7 ก็แน่ยิ่งกว่าแช่แป้งว่าเปลี่ยนไปเลือกอีกใบเถอะ
ต่อให้ไม่สุ่มเลขฐานขึ้นมา โดยสามัญสำนึก เราก็จะมีเลขฐานอยู่ในใจอยู่แล้ว นั่นคือคือ 50 ถ้าไพ่ที่หงายออกมาสูงกว่า 50 โอกาสที่อีกใบจะต่ำกว่าก็มีมาก และในทางกลับกัน และการที่เราสุ่มมั่วเลขฐานขึ้นมา expected value ของมันก็คือ 50 ดังนั้นกลยุทธนี้ก็คือการ "หลอก" ให้เรากลับไปใช้สามัญสำนึก หรือกลยุทธพื้นฐานโดยไม่รู้ตัวนั่นเอง
Q.E.D. -- quite easily done (after almost ten fucking years!)
No comments:
Post a Comment